100 aves por 100 moedas

A minha sobrinha me propos o seguinte problema.

• Uma moeda compra 3 frangos.
• Uma galinha custa 3 moedas.
• Um galo custa 5 moedas.

Comprando 100 aves por 100 moedas! Quantos frangos (X), galinhas (Y) e galos (Z) poderei comprar? Bom, também consideraremos somente quantidades inteiras-não-negativas de aves e moedas. Diferente disso, pode ser estranho!

• A primeira equação é imediata. X + Y + Z = 100 (ou seja, a quantidade total de aves é 100).
• A segunda também. (X/3) + 3Y + 5Z = 100 (ou seja, o custo total é de 100 moedas).

Três incógnitas e duas equações. De onde saem as demais informações necessárias para a solução do sistema?

Da primeira equação sabemos que X = 100-Y-Z, enquanto da segunda equação, temos X=300-9Y-15Z. Igualando as duas equações, resulta uma equação somente em Y e Z.

Y = 25 - (7/4)Z. (terceira equação).

Como (7, 4) são primos entre si, somente Z's multiplos de 4, resultam Y inteiros. Alem disso, Z precisa ser menor ou igual a 12, ou Y resultaria negativo.

Agora, na força bruta, nesta faixa temos somente quatro Zs possíveis: Para
Z = 12; Y=4, X=84, com 100 moedas;
Z = 8; Y=11, X=81, com 100 moedas;
Z = 4; Y=18, X=78, com 100 moedas;
Z = 0; Y=25, X=75, com 100 moedas;

Estranhamente, os múltiplos de 4 para Z, satisfazendo as tres equações, são soluções para o problema. Os Zs maiores que 12 geram soluções estranhas com devolução de Galinhas.

Críticas quanto ao uso de força bruta na solução de problemas?? Na falta de inteligência natural, usamos a inteligência artificial mesmo!!! Hi! Vide "problema das quatro cores" que fala um pouco sobre o uso da força bruta na solução de problemas.